Teorema de Bayes

La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura permite el calculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento (probabilidades aposteriori), basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento).

Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad condicional de A_i dado B, para cualquier i, es:

Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación P(A_iÇB) = P(A_i) P(B|A_i) y en el denominador el Teorema de Probabilidad Total  P(B) = P(A₁) P(B | A₁) + P(A₂) P(B | A₂) + . . . + P(A_n) P(B | A_n), obtenemos la ecuación que representa al:

Teorema de Bayes

Ejemplo 3. 11. Referente al problema de la fábrica que produce dos tipos de reguladores A y B visto anteriormente en la aparte corresponde al Teorema de Probabilidad Total, cabe hacer el siguiente análisis: si se selecciona un regulador al azar de la producción de la fábrica y se ve que funciona bien ¿Cuál es la probabilidad de que sea del tipo B?

Solución

En este caso el estudio se restringe a los reguladores que funcionan bien, por lo que ese evento actúa como espacio muestral reducido, o sea como evento condición. Por lo tanto, el planteamiento de la pregunta es P(B | F).

Los datos que se tienen son :

P(A) = 0.75     P(F | A) = 0.95

P(B) = 0.25     P(F | B) = 0.98

De acuerdo al Teorema de Bayes:

Podemos observar que el denominador corresponde al resultado obtenido al aplicar el Teorema de Probabilidad Total, lo cual debe ser así, ya que la probabilidad condicional establece que . De esta forma podemos ver que la Probabilidad

Total es el denominador de la fórmula del Teorema de Bayes. También podemos observar que aplicando los conceptos de la Regla de Multiplicación y del Teorema de Probabilidad Total llegamos al planteamiento del teorema de Bayes, Veamos:

Ejemplo 3. 12. Una fábrica que produce material para la construcción tiene 3 máquinas, a las que se les denomina A, B y C. La máquina A produce tabique, la B adoquín y la C losetas. La máquina A produce el 50% de la producción total de la fábrica, la B el 30% y la C el 20%. Los porcentajes de artículos defectuosos producidos por las máquinas son, respectivamente, 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar y se observa que es defectuoso, encontrar la probabilidad de que sea un tabique.

Solución

Definamos el evento D como sea un artículo defectuoso. De acuerdo a esto tenemos que:

P(A) = 0.5       P(D | A) = 0.03

P(B) = 0.3       P(D | B) = 0.04

P(C) = 0.2       P(D | C) = 0.05

Si el artículo del que deseamos calcular la probabilidad es un tabique, significa que es producido por la máquina A. También observamos que en la solución solamente participan los artículos defectuosos, ya que se pone por condición esta característica. Por lo tanto:

Ejemplo 3. 13. A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Solución

Definamos los eventos:

H:    Sea un  hombre

M:   Sea una mujer

E:         La persona sea especialista en computación

Tenemos que:

               

               

Por lo tanto:

Sistemas de razonamiento probabilístico.

Sistemas de razonamiento probabilístico.

Red de creencias: características.

La principal ventaja del razonamiento probabilístico sobre el razo-namiento lógico es que el primero permite tomar decisiones racio-nales aún en los casos en que no haya suficiente información para probar que cualquier acción dada funcionará.

La red de creencias es un grafo dirigido y acíclico en el cual:

1. Un conjunto de arcos dirigidos o flechas, conecta pares de nodos.
2. Un conjunto de variables representa los nodos de la red.
3. Cada nodo tiene una tabla de probabilidad condicional que cuantifica los efectos que los padres tienen sobre el nodo.

Ejemplo de razonamiento probabilístico.

Podemos combinar cuales son las posibilidades de una determinada enfermedad en el paciente antes de realizar las pruebas (probabilidad preestudio), con la certeza de la prueba diagnóstica (sensibilidad y especificidad) y calcular la probabilidad de que un paciente tiene una enfermedad después de obtenidas las pruebas (probabilidad post estudio).

Supongamos una mujer de 35 años que se presenta con síntomas de disuria. Las probabilidades de que tenga una infección urinaria son del 55%. La sensibilidad de la prueba de la tirilla positiva para nitritos o estearasa de los leucocitos es del 90%. La especificidad de esta prueba es del 60%. Con esta información podemos calcular la probabilidad de que la mujer tiene una infección urinaria utilizando el siguiente cálculo matemático: De 1000 mujeres, el 55% o sea 550 tendrán una infección de las vías urinarias y 450 mujeres no la tendrán. De las 550 mujeres con la enfermedad, hay 495 verdaderos positivos (sensibilidad 550×90%) y de las 450 mujeres sin la enfermedad, hay 270 verdaderos positivos (especificidad 450×60%). Completando la tabla, el número de falsos negativos es 550−495 = 55 y el número de falsos positivos es 450−270 = 180.

En la práctica clínica, necesitamos estar en condiciones de calcular las posibilidades si un paciente tiene o no una enfermedad ante una prueba positiva o negativa. Con una probabilidad preestudio del 55%, si alguna de las tirillas es positiva, las posibilidades de que la paciente tenga una infección urinaria (valor predictivo positivo) es la proporción de los verdaderos positivos ante todos los resultados positivos, es decir 495 dividido 675, o 73%. Usted puede considerar que este porcentaje no es suficiente para determinar la presencia de infección y por lo tanto puede ordenar un cultivo de orina. Por otro lado, si ambas pruebas son negativas, la probabilidad de que la paciente no tenga una infección urinaria (valor predictivo negativo), es la proporción de los verdaderos negativos con todas las pruebas negativas, o sea 270 dividido por 325, o 83%. La probabilidad de infección urinaria en este caso es del %. Este valor no es lo suficientemente bajo como para descartar infección y puede ser necesario recurrir al cultivo de orina.

Si bien los valores predictivos positivos y negativos son útiles en la práctica médica, habitualmente no se incluyen en los estudios de certeza de las pruebas diagnósticas.

Para ilustrar en que forma la probabilidad preprueba afecta la probabilidad postprueba, podemos calcular las probabilidades postprueba para el mismo estudio en una mujer embarazada asintomática (la prevalencia de infección urinaria en estos casos es del 2,4%). Si consideramos la misma sensibilidad y especificidad que la anterior, pero una probabilidad preprueba del 2,4% y completamos los cálculos de la misma forma, el valor predictivo positivo es ahora 22 dividido 413, o 5%; el 95% de todos los resultados positivos son falsos positivos. El valor predictivo negativo es ahora 585/587, es decir cercano al 100%.

La mujeres con infección urinaria recidivante tienen una probabilidad preestudio alta, del 84%. Teniendo en cuenta la misma sensibilidad y especificidad, pero utilizando ahora una probabilidad preprueba del 84%, una mujer con un estudio positivo tiene una probabilidad postestudio de 756/820 o 92%. Sin embargo, si ambas pruebas son negativas, el valor predictivo negativo es 96/180 o 53%, por lo tanto, la probabilidad de que la mujer tenga una infección de las vías urinarias aún con un resultado negativo es ahora del 47%.

¿Cuándo se emplea el razonamiento probabilístico?

Utilizamos el razonamiento probabilístico siempre que consideramos la posibilidad de que el/la paciente tenga una infección a la luz de un nuevo dato de información. En las etapas diagnósticas previamente descritas, el razonamiento probabilístico se realiza durante la revisión del diagnóstico. En el siguiente artículo sobre dolor torácico los autores describen cómo los diferentes tipos de dolor torácico y los resultados del electrocardiograma de esfuerzo, obligan a rever la probabilidad de que un paciente tiene enfermedad coronaria. El razonamiento probabilístico también se emplea cuando se decide si es conveniente solicitar nuevos estudios.

Método del teorema de bayes.

La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura permite el calculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento (probabilidades aposteriori), basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento).

Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad condicional deA_i dado B, para cualquier i, es:

Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación P(A_iÇB) = P(A_i) P(B|A_i) y en el denominador el Teorema de Probabilidad Total  P(B) = P(A₁) P(B | A₁) + P(A₂) P(B | A₂) + . . . + P(A_n) P(B | A_n), obtenemos la ecuación que representa al:

Teorema de Bayes

EJEMPLO 1

 Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.

b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B.

c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

 Solución:

Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.

a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total,

 P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) = = 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038

b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,

c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A.

TIPOS DE METODOS

Métodos de demostración

Designamos en esta forma los modelos o esquemas más generales que encontramos en los procesos deductivos. Estos modelos, como veremos en el transcurso de su desarrollo, están fundamentados lógicamente en teoremas o reglas de inferencia ya establecidos.

Esquema operativo general

Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica P es teorema. Por este método procedemos así:

1. Suponemos la negación de la tesis (no P) como hipótesis auxiliar.
2. A partir de las premisas de la teoría y de la hipótesis auxiliar se razona por el método directo, hasta obtener como conclusión una contradicción por ejemplo, Q y no Q.
3. Por el método directo concluimos
4. El teorema anterior nos permite concluir del paso 3) la validez de P.

 Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración condicional

"Dado un conjunto de premisas en una teoría, si bajo el supuesto de que una proposición P es verdadera y utilizando las premisas disponibles se puede hacer una demostración de que una proposición Q es verdadera, entonces en esa teoría puede concluirse que es verdadero”.

Esquema operativo general:

Para demostrar que una proposición específica de la forma es teorema se procede así:

1. Suponemos como verdadero el antecedente P. Esta la denominamos hipótesis auxiliar.
2. A partir de la hipótesis construimos una argumentación lógica en la cual podemos utilizar los axiomas y teoremas demostrados para obtener mediante la aplicación de las reglas de validez y de inferencia, la validez de Q.
3. En este punto concluye la prueba y queda establecida la validez de .

A modo de síntesis, una demostración de la proposición por el método directo, tendría este desarrollo esquemático:

Bajo el supuesto de que los siguientes esquemas fueran teoremas, indicar esquemáticamente como se desarrollarían sus demostraciones por el método directo

Método del contrarrecíproco

El teorema del contrarrecíproco da lugar a una variante del método directo, que se utiliza mucho en matemáticas y es conocido como método del contrarrecíproco. Este método puede resumirse así: Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica es teorema y al intentar su demostración por el método directo no logramos obtener la conclusión deseada. Se procede entonces a demostrar por el método directo su contrarrecíproca , si se consigue este objetivo entonces queda establecida la validez de al hacer sustitución por equivalencia.

Esquema operativo general

Para demostrar que una proposición específica de la forma es un teorema se procede así:

1. Suponemos como hipótesis auxiliar no Q.
2. Utilizando el método directo construimos una argumentación lógica hasta concluir no P.
3. Concluimos por el método directo que es teorema.
4. La regla de validez 3 nos permite concluir que es válida mediante la equivalencia del contrarrecíproco.

A modo de síntesis una demostración de la proposición por este método tendría este desarrollo esquemático:

 Método de casos. (Silogismo disyuntivo).

La regla de inferencia de ese nombre da lugar a este método de demostración, casi de forzosa utilización cuando la hipótesis o una de las hipótesis es una disyunción de dos o más proposiciones, en cuyo caso procedemos así:

1. Suponemos la hipótesis dada correspondiente a una disyunción.
2. A partir de cada una de las proposiciones que integran la disyunción se obtiene una conclusión parcial por el método directo.
3. Se concluye finalmente la disyunción de las conclusiones parciales.

Esquema operativo general

Supongamos que se fuera a demostrar que un esquema de la forma es teorema. Bajo este método procedemos esquemáticamente así:

ejemplo de cada  uno de los métodos de mostración 

Método de casos. (Silogismo disyuntivo).

Demostrar el siguiente teorema:

El producto de tres números enteros consecutivos es un número par.

Supongamos: a, b, c son números enteros consecutivos. Hip. 1

Método de demostración por contradicción o reducción al absurdo

Utilizar el método de reducción al absurdo para obtener la conclusión a partir de las premisas dadas.

Método del contrarrecíproco

Demostrar utilizando el método del contrarrecíproco el siguiente teorema:Si el producto de dos enteros es par, al menos uno de ellos es par.

Enunciado explícito: Para a y b números enteros. Si a.b es par entonces a es par o b es par.

Enunciado contrarrecíproco: Si no es cierto que a es par o b es par entonces a.b es impar.

Este enunciado es equivalente a : Si a es impar y b es impar entonces a.b es impar.

Supongamos que a es impar y b es impar (Hip. aux.)

Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración condicional

Demostrar utilizando el método directo que la siguiente proposición es un teorema.

Debemos identificar con absoluta claridad cual es el antecedente y el consecuente en la implicación principal; designémoslos por A1 y C1 respectivamente.

A su vez, como el consecuente C1 es otra implicación, identifiquemos en esta antecedente y consecuente, designándolos por A2 y C2 respectivamente. De nuevo el consecuente C2 es otra implicación, identificando y designando por A3 y C3 su antecedente y consecuente. Puede observarse que en este proceso iterativo de identificación C3 es el último consecuente.

Procedamos ahora a la demostración del teorema.

El Modelo del Agente Inteligente

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